Betz und Leistungsentnahme
Theorie nach Betz – maximal entnehmbare Windleistung
Eine Windturbine kann die kinetische Energie des Windes nicht vollständig in mechanische Rotationsenergie umwandeln. Der deutsche Physiker Albert Betz (1885-1968) hat 1920 die optimal erreichbare Leistungsumsetzung für ein idealisiertes Windrad berechnet.
Dabei machte er folgende einfache Überlegung: Die Leistungsentnahme erfolgt durch die Verminderung der Strömungsgeschwindigkeit. Wird der Wind überhaupt nicht verzögert, kann ihm auch keine Leistung entnommen werden. Wird er allerdings zu stark verzögert, so wird der Durchsatz ṁ gering. Dies führt im Extremfall (ṁ=0) zur „Verstopfung der Strömung“.
Betz kam zu dem Ergebnis, dass, wenn die Windgeschwindigkeit nach der Rotorebene nur noch 1/3 der Geschwindigkeit vor der Rotorebene beträgt, eine optimale Leistungsentnahme möglich ist. Bei diesem Verhältnis ist der aerodynamische Wirkungsgrad, der Leistungsbeiwert cP = 16/27 ≈ 0,59. Somit kann maximal 59 % der im Wind vorhandenen Leistung durch eine ideale Windturbine entnommen werden. Dieser Leistungsbeiwert gilt allerdings nur für Auftriebsläufer.
Auch Widerstandsläufer entnehmen dem Wind Leistung. Bei ihnen liegt der maximale Leistungsbeiwert bei einem deutlich geringeren Wert von 0,19.
Somit ergibt sich für die maximal dem Wind entnehmbare Leistung:
Die Frage ist nun, wie ein Rotorblatt gebaut sein muss, um diese Leistung zu entnehmen. Betz bestimmte für jeden Ringschnitt dr die optimale Blatttiefe t(r) in Abhängigkeit von der Blattanzahl z, der Schnelllaufzahl λ, dem Auftriebsbeiwert cA des gewählten Profils sowie dem Radius R des Rotors.
Die optimale Flügeltiefe t ergibt sich in Abhängigkeit vom Radius r:
Nach dieser Formel gibt es theoretisch eine optimale Summe aller Blatttiefen der Blätter. Mehrere Blätter bedeuten folglich eine Aufteilung der Tiefe auf z Blätter.
Betz ging davon aus, dass die Luftströmung auch nach dem Windrad eine rein axiale Richtung beibehält. Dies ist aber in der Realität nicht der Fall, da die Strömung hinter dem Windrad immer drallbehaftet ist, es daher eine Drehbewegung der abströmenden Luftsäule gibt.
Schmitz berücksichtigte diese Verluste bei seinen Berechnungen. Die Drallverluste sind von der Schnelllaufzahl abhängig. Sie sind beim Langsamläufer sehr hoch, bleiben aber bei Schnellläufern gering. Daher stimmen die Betz´schen Überlegungen für moderne Windenergieanlagen, die Schnellläufer sind, weitgehend sehr gut überein.
Beide Theorien, Betz´und Schmitz‘, berücksichtigen nicht die Blattspitzen-Verluste (Tip-Verluste) an den Spitzen der Flügel. Diese müssen bei einer Dimensionierung einer Anlage zusätzlich berücksichtigt werden.
